웰치의 t 검정 : welch's t test (파이썬)

웰치의 t 검정은 정규분포를 따르지만, 이분산성을 가지는 데이터에 대해 t-test를 진행하는 것이다.

이를 시행하려면, 정규성 검정과 등분산성 검정을 시행해야한다.

 

이전 글 참고

2022.01.11 - [공부/모델링] - 정규성 검정 (Python)

정규성 검정 (Python)

2022.01.11 - [공부/모델링] - 등분산 검정 (파이썬)

등분산 검정 (파이썬)

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먼저 평균의 차이가 존재하는 정규분포 데이터를 생성하고 분산도 다르게 설정한다.

# 라이브러리 호출
import numpy as np
import scipy as sp
from matplotlib import rc
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

rc('font', family='AppleGothic')
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 이분산을 가지는 두 데이터 조건 형성
# 데이터 개수 500개, 분산은 이분산성, 평균도 다르게 설정
N1 = 500
N2 = 500
sigma_1 = 1
sigma_2 = 4
mu_1 = 10
mu_2 = 20

# 랜덤데이터 형성 (정규분포)
np.random.seed(0)
x1 = sp.stats.norm(mu_1, sigma_1).rvs(N1)
x2 = sp.stats.norm(mu_2, sigma_2).rvs(N2)

# 시각화
ax = sns.distplot(x1, kde=False, fit=sp.stats.norm, label=f"1번 데이터 집합 (분산 :{np.round(x1.std(),3)})")
ax = sns.distplot(x2, kde=False, fit=sp.stats.norm, label=f"2번 데이터 집합 (분산 :{np.round(x2.std(),3)})")
ax.lines[1].set_linestyle('--')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1.0, .2))
plt.show()

출력 결과

이를 확인하면, 평균과 분산이 육안으로도 유의하게 차이가 나는 것을 확인할 수 있다. 

그렇다면, welch's t-test를 진행해보자.

from scipy.stats import ttest_ind

# welch's T-test 시행
print(f'검정 통계치 : {np.round(ttest_ind(x1, x2, equal_var = False)[0],3)}\np값 : {ttest_ind(x1, x2, equal_var = False)[1]}')

출력 결과

검정 통계치 : -54.164
p값 : 1.1683096037126887e-225

해석하자면, 2 모집단간 평균의 차이가 동일하다는 귀무가설을 매우 유의하게 기각할 수 있음을 확인할 수 있다.

 

 

더 나아가자면, ttest_ind에는 다양한 옵션도 존재한다. 

다음은, scipy 라이브러리의 stats 매서드 내 ttest_ind에 대한 내용이다. 

 

def ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True, nan_policy='propagate',
              permutations=None, random_state=None, alternative="two-sided",
              trim=0):
    """
    Calculate the T-test for the means of *two independent* samples of scores.

    This is a two-sided test for the null hypothesis that 2 independent samples
    have identical average (expected) values. This test assumes that the
    populations have identical variances by default.

    Parameters
    ----------
    a, b : array_like
        The arrays must have the same shape, except in the dimension
        corresponding to `axis` (the first, by default).
    axis : int or None, optional
        Axis along which to compute test. If None, compute over the whole
        arrays, `a`, and `b`.
    equal_var : bool, optional
        If True (default), perform a standard independent 2 sample test
        that assumes equal population variances [1]_.
        If False, perform Welch's t-test, which does not assume equal
        population variance [2]_.

        .. versionadded:: 0.11.0

    nan_policy : {'propagate', 'raise', 'omit'}, optional
        Defines how to handle when input contains nan.
        The following options are available (default is 'propagate'):

          * 'propagate': returns nan
          * 'raise': throws an error
          * 'omit': performs the calculations ignoring nan values

        The 'omit' option is not currently available for permutation tests or
        one-sided asympyotic tests.

    permutations : non-negative int, np.inf, or None (default), optional
        If 0 or None (default), use the t-distribution to calculate p-values.
        Otherwise, `permutations` is  the number of random permutations that
        will be used to estimate p-values using a permutation test. If
        `permutations` equals or exceeds the number of distinct partitions of
        the pooled data, an exact test is performed instead (i.e. each
        distinct partition is used exactly once). See Notes for details.

        .. versionadded:: 1.7.0

    random_state : {None, int, `numpy.random.Generator`,
            `numpy.random.RandomState`}, optional

        If `seed` is None (or `np.random`), the `numpy.random.RandomState`
        singleton is used.
        If `seed` is an int, a new ``RandomState`` instance is used,
        seeded with `seed`.
        If `seed` is already a ``Generator`` or ``RandomState`` instance then
        that instance is used.

        Pseudorandom number generator state used to generate permutations
        (used only when `permutations` is not None).

        .. versionadded:: 1.7.0

    alternative : {'two-sided', 'less', 'greater'}, optional
        Defines the alternative hypothesis.
        The following options are available (default is 'two-sided'):

          * 'two-sided'
          * 'less': one-sided
          * 'greater': one-sided

        .. versionadded:: 1.6.0

    trim : float, optional
        If nonzero, performs a trimmed (Yuen's) t-test.
        Defines the fraction of elements to be trimmed from each end of the
        input samples. If 0 (default), no elements will be trimmed from either
        side. The number of trimmed elements from each tail is the floor of the
        trim times the number of elements. Valid range is [0, .5).

 

중요

1. equl_var를 설정하여 등분산, 이분산을 구분할 수 있다.

2. alternative를 통해 양측, 단측 검정을 사용할 수 있다.

- 양측검정은 평균의 차이 자체를 검정하는 것이고, 단측은 평균이 크거나 작다는 것을 검정하는 것

 

 

추가)

scipy 사이트 링크

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.ttest_ind.html

scipy.stats.ttest_ind — SciPy v1.7.1 Manual